Question

某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价P与上市时间t满足关系P=

300-t(当0≤t≤200) 2t-300(当200＜t≤300)

，西红柿的种植成本Q与上市时间t满足关系Q=

1

200

(t-150)2+100（0≤t≤300）（市场售价与种植成本的单位是：元/100kg，时间单位是：天）．若认定市场售价减去种植成本为纯收益，问：何时上市的西红柿纯收益最大？

Answer 1

分析：由纯收益=收入-成本，结合从二月一日起的300天内，西红柿市场售价P与上市时间t满足关系P=

300-t(当0≤t≤200) 2t-300(当200＜t≤300)

，西红柿的种植成本Q与上市时间t满足关系Q=

1

200

(t-150)2+100（0≤t≤300），我们易得到纯收益h（t）的解析式，根据分段函数分段处理的原则，我们分别求出两段上函数的最值，综合讨论结果，即可得到结论．

解答：解：设t时刻上市的西红柿纯收益为h（t）元/100kg，则依题意有h（t）=P-Q
即h（t）=

- 1 200 t2+ 1 2 + 175 2 ，当0≤t≤200 - 1 200 t2+ 7 2 t- 1025 2 ，当200＜t≤300

…（6分）
（1）当0≤t≤200时，h（t）=-

1

200

(t-50)2+100，
故当t=50时，h（t）最大，且h（t）_max=h（50）=100．…（8分）
（2）当200＜t≤300时，h（t）=-

1

200

(t-350)2+100，故此时h(t)max=h（300）=87.5
综上所述得：当t=50时，h（t）最大，
即从二月一日开始的第50天上市的西红柿纯收益最大  …（12分）

点评：本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，函数的值域，其中根据纯收益=收入-成本，求出纯收益h（t）的解析式，是解答本题的关键．