精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
设Sn是等比数列{an}的前n项和,
(1)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.
(2)设p,r,t,k,m,n∈N*,且p,r,t成等差数列,若pSk,rSm,tSn成等差数列,试判断pak+1,ram+1,tan+1三者关系,并说明理由.
分析:(1)设{an}的公比为q,根据等比数列的前n项和公式及2S9=S6+S3,建立关于q的方程解出q3=-
1
2
,从而化简得a2+a5-2a8=0,所以a2,a8,a5成等差数列.
(2)根据题意,可得2rSm=pSk+tSn,当q=1时,结合2r=p+t不难推出2ram+1=pak+1+tan+1成立,即pak+1,ram+1,tan+1成等差数列.当q≠1时,根据等比数列的通项与求和公式,化简等式2rSm=pSk+tSn得到2ra1qm=pa1qk+ta1qn,即2ram+1=pak+1+tan+1.由此可得若pSk,rSm,tSn成等差数列,则pak+1,ram+1,tan+1成等差数列.
解答:解:(1)依题意,设等比数列{an}的公比为q,
可得2S9=S6+S3,即2
a1(1-q9)
1-q
=
a1(1-q6)
1-q
+
a1(1-q3)
1-q

整理得2q6-q3-1=0,解q3=1或-
1
2

∵q=1时,2S9=S6+S3不成立
∴q3=-
1
2

可得a2+a5-2a8=a2(1+q3-2q6)=a2(1-
1
2
-2×
1
4
)=0
∴a2+a5=2a8,即a2,a8,a5成等差数列.
(2)设等比数列{an}的公比为q,
由pSk,rSm,tSn成等差数列,可得2rSm=pSk+tSn
当q=1时,ak+1=am+1=an+1=a1,结合2r=p+t得到2ram+1=pak+1+tan+1
当q≠1时,由2rSm=pSk+tSn结合等比数列前n项和公式,
化简得2ra1(1-qm)=pa1(1-qk)+ta1(1-qn),
∵2r=p+t,可得2ra1=pa1+ta1
∴上式化简,得2ra1qm=pa1qk+ta1qn,即2ram+1=pak+1+tan+1
综上所述,若pSk,rSm,tSn成等差数列,则pak+1,ram+1,tan+1成等差数列.
点评:本题给出等比数列满足的条件,探索pak+1,ram+1,tan+1是否成等差数列的问题.着重考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列、等比数列之间的关系等知识,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设Sn是等比数列{an}的前n项和,
S3
S6
=
1
3
,则
S6
S12
等于(  )
A、
3
10
B、
1
5
C、
1
8
D、
1
9

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设Sn是等比数列{an}前n项的乘积,若a9=1,则下面的等式中正确的是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011-2012学年四川省高4月期中检测数学试卷(解析版) 题型:选择题

设Sn是等比数列的前n项和,若,则 (   )   

A、          B、             C、          D、

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012-2013学年宁夏银川一中高三(下)第六次月考数学试卷(理科)(解析版) 题型:选择题

设Sn是等比数列{an}的前n项和,,则等于( )
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2010-2011学年浙江省杭州市学军中学高三(上)期中数学试卷(文科)(解析版) 题型:选择题

设Sn是等比数列{an}的前n项和,,则等于( )
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

同步练习册答案