Question

【题目】如图1，平面五边形是由边长为2的正方形与上底为1，高为直角梯形组合而成，将五边形沿着折叠，得到图2所示的空间几何体，其中.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（Ⅰ）以为原点，以平行于的方向为轴，平行于的方向为轴，建立空间直角坐标系.过点作的高，交于点，先证明出平面，设，根据，可求出，再利用向量法证明线线垂直，进而得到线面垂直；
（2）求出平面ABE的法向量、平面BCF的法向量，由即可求出线面角.

（1）以为原点，以平行于的方向为轴，平行于的方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

过点作的高，交于点.

由于，，

所以平面，所以，

又因为，，

所以平面.

设，由题设条件可得下列坐标：

，， ，，，.

，，由于，

所以，解得，

故，.

可求，

且，，

从而，.

因为平面，且，

故平面；

（2）由（1）得，，，.设平面的法向量，

由及得

令，由此可得.

设平面的法向量，

由及得

令，由此可得.

则，因为二面角大于，

则二面角的余弦值为.