Question

（本小题满分13分）已知函数   （1）讨论函数f (x)的极值情况；      （2）设g (x) = ln(x + 1)，当x₁>x₂>0时，试比较f (x₁ – x₂)与g (x₁ – x₂)及g (x₁) –g (x₂)三者的大小；并说明理由．

Answer 1

(Ⅰ) 略   (Ⅱ)  略

解析:

（1）当x>0时，f (x) = e^x – 1在(0，+∞)单调递增，且f (x)>0；当x≤0时，．①若m = 0，f ′(x) = x²≥0, f (x) =在(–∞，0]上单调递增，且f (x) =．又f (0) = 0，∴f (x)在R上是增函数，无极植；       ②若m<0，f ′(x) = x(x + 2m) >0，则f (x) =在(–∞，0)单调递增，同①可知f (x)在R上也是增函数，无极值；…4分   ③若m>0，f (x)在(–∞，–2m]上单调递增，在(–2m，0)单调递减，      又f (x)在(0, +∞)上递增，故f (x)有极小值f (0) = 0，f (x)有极大值． 6分

       （2）当x >0时，先比较e^x – 1与ln(x + 1)的大小，      设h(x) = e^x – 1–ln(x + 1)   (x >0)      h′(x) =恒成立       ∴h(x)在(0，+∞)是增函数，h(x)>h (0) = 0      ∴e^x – 1–ln(x + 1) >0即e^x – 1>ln(x + 1)

       也就是f (x) > g (x) ，成立．  故当x₁ – x₂>0时，f (x₁ – x₂)> g (x₁ – x₂)…10分

       再比较与g (x₁) –g (x₂) = ln(x₁ + 1) –ln(x₂ + 1)的大小．

       =

       =    ∴g (x₁ – x₂) > g (x₁) –g (x₂)

       ∴f (x₁ – x₂)> g (x₁ – x₂) > g (x₁) –g (x₂) ．……13分