Question

已知函数f（x）=ln（1+ax²），a∈R且a≠0．
（1）当a=-4时，求F（x）=f（x）-2x的最大值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）当n∈N^*，求证：

1

12+n2

+

2

22+n2

+

3

32+n2

+…+

n

n2+n2

＞

1

2

ln2．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,证明题,压轴题,导数的综合应用

分析：（1）代入a=-4化简F（x）=ln（1-4x²）-2x的定义域为(-

1

2

，

1

2

)；求导并令F′(x)=

-8x

1-4x2

-2=

8x2-8x-2

1-4x2

=0，从而判断导数的正负以确定单调性，再求最大值；
（2）由1+ax²＞0知ax²＞-1（a≠0），再求导f′(x)=

2ax

1+ax2

，讨论a以确定函数的定义域及导数的正负，从而确定函数的单调性；
（3）设不等式左边为S_n，化简S_n=

1

12+n2

+

2

22+n2

+

3

32+n2

+…+

n

n2+n2

=

1

n

[

1 n

1+( 1 n )2

+

2 n

1+( 2 n )2

+

3 n

1+( 3 n )2

+…+

n n

1+( n n )2

]；构造函数g(x)=

2x

1+x2

，从而化Sn=

1

2

n

i=1

1

n

[

2• i n

1+( i n )2

]=

1

2

n

i=1

1

n

•g(ξi)，其中ξi=

i

n

，(i=1，2，3…n)；利用积分的定义可知

n

i=1

1

n

•g(ξi)表示函数g（x）在区间[0，1]上与x轴围成的面积的过剩近似值；从而证明．

解答： 解：（1）当a=-4时，F（x）=ln（1-4x²）-2x的定义域为(-

1

2

，

1

2

)；
由F′(x)=

-8x

1-4x2

-2=

8x2-8x-2

1-4x2

=0，
可得x=

1± 2

2

，
∵x∈(-

1

2

，

1

2

)，
∴x=

1- 2

2

；
故当x∈(-

1

2

，

1- 2

2

)，F′(x)＞0，F（x）单调递增，
当x∈(

1- 2

2

，

1

2

)，F′(x)＜0，F（x）单调递减；
故F（x）的最大值为F(

1- 2

2

)=ln(2

2

-2)+

2

-1．

（2）因为1+ax²＞0，可知ax²＞-1（a≠0），
又f′(x)=

2ax

1+ax2

；
当a＞0，f（x）定义域为R，若x＞0则f′（x）＞0，若x＜0则f′（x）＜0；
故f（x）的单调减区间为（-∞，0），单调增区间为（0，+∞）．
当a＜0，f（x）定义域为(-

- 1 a

，

- 1 a

)，
若x＞0则f′（x）＜0，若x＜0则f′（x）＞0；
故f（x）的单调增区间为(-

- 1 a

，0)，单调减区间为(0，

- 1 a

)．

（3）证明：设不等式左边为S_n，
则S_n=

1

12+n2

+

2

22+n2

+

3

32+n2

+…+

n

n2+n2

=

1

n2

[

1

1+( 1 n )2

+

2

1+( 2 n )2

+

3

1+( 3 n )2

+…+

n

1+( n n )2

]
=

1

n

[

1 n

1+( 1 n )2

+

2 n

1+( 2 n )2

+

3 n

1+( 3 n )2

+…+

n n

1+( n n )2

]；
构造函数g(x)=

2x

1+x2

，
由（2）可知当a=1时，f（x）=ln（1+x²），f′（x）=g（x）；
Sn=

1

2

n

i=1

1

n

[

2• i n

1+( i n )2

]=

1

2

n

i=1

1

n

•g(ξi)，其中ξi=

i

n

，(i=1，2，3…n)；
利用积分的定义可知

n

i=1

1

n

•g(ξi)表示函数g（x）在区间[0，1]上与x轴围成的面积的过剩近似值；
故有

n

i=1

1

n

•g(ξi)＞

∫

1 0

g(x)dx=

∫

1 0

f′(x)dx=[f(1)-f(0)]=ln2；
故当n∈N^*，

1

12+n2

+

2

22+n2

+

3

32+n2

+…+

n

n2+n2

＞

1

2

ln2成立．

点评：本题考查利用函数的导数解决函数的最值和单调性问题，并通过构造函数利用微积分的思想证明不等式问题，需要较强的综合运用知识和开拓创新能力．考查了函数的思想、分类讨论思想、数形结合思想、等价转化思想等常用的数学思想．