Question

直线l经过抛物线y²=4x的焦点F，与抛物线交于A，B两点，则弦AB中点的轨迹方程为

y²=2x-2

．

Answer 1

分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x₁+x₂，进而根据直线方程求得y₁+y₂，进而求得焦点弦的中点的坐标的表达式，消去参数k，则焦点弦的中点轨迹方程可得．

解答：解：由题知抛物线焦点为（1，0）
当直线的斜率存在时，设为k，则焦点弦方程为y=k（x-1）
代入抛物线方程得所以k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由题意知斜率不等于0，
方程是一个一元二次方程，由韦达定理：
x₁+x₂=

2k2+4

k2

所以中点横坐标：x=

x1+x2

2

=

k2+2

k2

代入直线方程
中点纵坐标：
y=k（x-1）=

2

k

．即中点为（

k2+2

k2

，

2

k

）
消参数k，得其方程为
y²=2x-2
当直线斜率不存在时，直线的中点是（1，0），符合题意，
故答案为：y²=2x-2

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及弦的中点的时候，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求．