Question

已知动圆P（圆心为点P）过定点A（1，0），且与直线x=-1相切，记动点P的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）设过点P的直线l与曲线C相切，且与直线x=-1相交于点Q．试研究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵动圆P过定点A（1，0），且与直线x=-1相切，
∴点P到A（1，0）的距离等于点P到直线x=-1的距离．
因此，点P的轨迹是以A（1，0）为焦点、x=-1为准线的抛物线
设该抛物线方程为y²=2px，可得

p

2

=1，解得p=2
∴抛物线方程为y²=4x，即为所求轨迹C的方程；
（2）设直线l方程为y=kx+m，（斜率不存在的直线不符合题意）
由

y2=4x y=kx+m

消去y得：k²x²+（2km-4）x+m²=0
由题意知k≠0，且△=（2km-4）²-4k²m²=0，化简得km=1
设直线l与曲线C相切的切点P（x₀，y₀），则有
x₀=

2-km

k2

=

1

k2

，y₀=kx₀+m=

2

k

，所以P（

1

k2

，

2

k

）
由

x=-1 y=kx+m

解得Q（-1，m-k）
假设坐标平面内符合条件的点M存在，由图形的对称性知点M在x轴上
若取k=m=1，此时P（1，2），Q（-1，0），可得以PQ为直径的圆为x²+（y-1）²=2，
交x轴于M₁（1，0），M₂（-1，0）
若取k=2，m=

1

2

，此时P（

1

4

，1），Q（-1，-

3

2

），可得以PQ为直径的圆为（x+

3

8

）²+（y+

1

4

）²=

125

64

，
交x轴于M₃（1，0），M₄（-

7

4

，0）
所以若符合条件的M点存在，则点M的坐标必定为（1，0），即为A点．
以下证明，M（1，0）就是满足条件的点
当M的坐标为（1，0）时，

MP

=（

1

k2

-1，

2

k

），

MQ

=（-2，m-k）
∴

MP

•

MQ

=-2（

1

k2

-1）+

2

k

（m-k）=

2mk-2

k2

=0
因此，

MP

⊥

MQ

恒成立
综上所述，在坐标平面内存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M．