Question

【题目】设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1 ， x2∈D，当x1+x2=2A时，恒有F（x1）+f（x2）=2b，则称（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心，研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2016）+f（﹣2015）+f（﹣2015）+f（﹣2014）+…+f（2014）+f（2015）+f（2016）=（ ）
A.0
B.2016
C.4032
D.4033

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵f（x）=x3+sinx+1，∴f′（x）=3x2﹣cosx，f'（x）=6x+sinx，
∵f'（0）=0，f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+1﹣x3﹣sinx+1=2，
∴函数f（x）=x3+sinx+1的一个对称中心为（0，1），
即当x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，
∴f（﹣2016）+f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）+f（2016）
=2×2016+f（0）
=4033．
故选：D．
【考点精析】通过灵活运用函数的值，掌握函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法即可以解答此题．