Question

过椭圆左焦点F，倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率为（　　）

• A．

  2

  3

• B．

  2

  3

• C．

  1

  2

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：设椭圆的左准线为l，设A、B两点在l上的射影分别为C、D，连接AC、BD，过点B作BG⊥AC利用圆锥曲线的统一定义，再结合直角△ABG中，∠BAG=60°，可求出边之间的长度之比，可得离心率的值．

解答：解：如图，设椭圆的左准线为l，过A点作AC⊥l于C，
过点B作BD⊥l于D，再过B点作BG⊥AC于G，
直角△ABG中，∠BAG=60°，所以AB=2AG，…①
由圆锥曲线统一定义得：e=

AF

AC

=

BF

BD

，
∵FA=2FB，
∴AC=2BD
直角梯形ABDC中，AG=AC-BD=

1

2

AC…②
①、②比较，可得AB=AC，
又∵AF=

2

3

AB
∴e=

AF

AC

=

AF

AB

=

2

3

故所求的离心率为

2

3

．
故选B．

点评：本题考查了圆锥曲线的统一定义的应用，结合解含有60°的直角三角形，求椭圆的离心率，属于几何方法，运算量小，方便快捷．