Question

用数学归纳法证明3²ⁿ⁺²-8n-9(n∈N)能被64整除.

Answer 1

思路分析：数学归纳法证明有关数或式的整除问题时，要充分利用整除的性质，若干个数都能被某一个数整除，则其和、差、积也能被这个数整除.

证明：(Ⅰ)当n=1时，3²+2-8×1-9=64显然能被64整除，命题成立.

(Ⅱ)假设n=k（k≥1，k∈N）时命题成立.即3²k+2-8k-9能被64整除.

则当n=k+1时，

3²（k+1）+2-8（k+1）-9=9·3²k+2-8k-8-9

=9（3²k+2-8k-9）+64k+64.

∵3²k+2-8k-9与64均能被64整除，

∴3²（k+1）+2-8（k+1）-9能被64整除.

即当n=k+1时命题也成立.

综合(Ⅰ)(Ⅱ)，对一切n∈N，3²ⁿ⁺²-8n-9能被64整除.