Question

已知点M，N分别在直线y=mx和y=-mx（m＞0）上运动，点P是线段MN的中点，且|MN|=2，动点P的轨迹是曲线C．
（1）求曲线C的方程，并讨论方程所表示的曲线类型；
（2）设m=

2

2

时，过点A（-

2 6

3

，0）的直线l与曲线C恰有一个公共点，求直线l的斜率．

Answer 1

分析：（1）设出动点的坐标，利用点P是线段MN的中点，且|MN|=2，可得曲线C的方程；对参数分类讨论，即可得到所表示的曲线；
（2）将直线方程与椭圆方程联立，利用过点A（-

2 6

3

，0）的直线l与曲线C恰有一个公共点，可得判别式等于0，结论方程，即可求得直线l的斜率．

解答：解：（1）设P（x，y），M（x₁，mx₁），N（x₂，-mx₂），
依题意得

x1+x2=2x mx1-mx2=2y (x1-x2)2+(mx1+mx2)2=22

，
消去x₁，x₂，整理得

x2

1 m2

+

y2

m2

=1，
当m＞1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆，
当0＜m＜1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆，
当m=1时，方程表示圆．
（2）当m=

2

2

时，方程为

x2

2

+

y2

1 2

=1，
设直线l的方程为y=k（x+

2 6

3

），与椭圆方程联立

x2 2 + y2 1 2 =1 y=k(x+ 2 6 3 )

，
消去y得（1+4k²）x²+

16 6

3

k²x+

32k2

3

-2=0，
根据已知可得△=0，
故有（

16 6

3

k²）²-4（1+4k²）（

32k2

3

-2）=0，k²=

3

4

∴直线l的斜率为k=±

3

2

．

点评：本题考查轨迹方程的求解，考查曲线与方程之间的联系，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将直线方程与椭圆方程联立，利用判别式求解．