Question

下列四个命题：①在区间[0，1]内任取两个实数x，y，则事件“x²+y²＞1恒成立”的概率是； ②从200个元素中抽取20个样本，若采用系统抽样的方法则应分为10组，每组抽取2个； ③函数f（x）关于（3，0）点对称，满足f（6+x）=f（6-x），且当x∈[0，3]时函数为增函数，则f（x）在[6，9]上为减函数； ④满足A=30°，BC=1，的△ABC有两解．其中正确命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：①本题是一个几何概型，试验发生包含的事件对应的集合是Ω={（x，y）|-1＜x＜1，-1＜y＜1}，满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|-1＜x＜1，-1＜y＜1，x²+y²＞1}，做出两个集合对应的图形的面积，根据几何概型概率公式得到结果．②根据系统抽样的定义，可知此命题是假命题；③根据函数f（x）关于（3，0）点对称，且当x∈[0，3]时函数为增函数，以及中心对称图象的单调性的性质可知函数f（x）在区间（3，6）是增函数，由f（6+x）=f（6-x），可知函数f（x）的图象关于直线x=6对称，根据轴对称图形的单调性的特征可知结论；④利用余弦定理解方程，即可求得结果．
解答：解：①由题意知本题是一个几何概型，
试验发生包含的事件对应的集合是Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，
它的面积是1×1=1，
满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1，x²+y²＞1}
集合A对应的图形的面积是边长为1的正方形内部，且圆的外部，面积是1-
∴根据几何概型的概率公式得到P=，故正确；
②从200个元素中抽取20个样本，间隔为10，而不是分成10组，故错；
③∵函数f（x）关于（3，0）点对称，且当x∈[0，3]时函数为增函数，
∴函数f（x）在区间（3，6）是增函数，
∵f（6+x）=f（6-x），
∴函数f（x）的图象关于直线x=6对称，
故f（x）在[6，9]上为减函数；该命题正确；
④由余弦定理可知cosA=，
整理得AC²-3AC+2=0，求得AC=1或2，因此△ABC有两解，故正确，
故选C．
点评：此种题型往往比较综合考查多个知识点的概念，处理的关键是熟练掌握各个知识点的概念、定义．同时考查了学生的思维转换和运算能力，属中档题．