Question

设定义域为R的函数f（x）=x²-4，若关于x的函数y=f²（x）-4|f（x）|+c有8个不同的零点，则实数c的取值范围是

 

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Answer 1

分析：令f（x）=t，该函数最多与x轴有两个交点，欲使关于x的函数y=f²（x）-4|f（x）|+c有8个不同的零点，转化成y=t²-4|t|与y=-c至少要有四个交点，从而确定c的取值范围．

解答：解：令f（x）=t=x²-4，该函数最多与x轴有两个交点，
∵关于x的函数y=f²（x）-4|f（x）|+c有8个不同的零点，
∴f²（x）-4|f（x）|+c=0有8个解，即y=t²-4|t|与y=-c至少要有四个交点，
作出y=t²-4|t|与y=-c的图象，结合图象可知-c∈（-4，0），
∴实数c的取值范围是（0，4）．
故答案为：（0，4）．

点评：本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，换元是解决问题的关键，同时考查了作图能力，属中档题．