Question

已知函数的图象过点A（0，1），且在该点处的切线与直线2x+y+1=0平行．
（Ⅰ）求b与c的值；
（Ⅱ）设f（x）在[1，3]上的最大值与最小值分别为M（a），N（a），求F（a）=M（a）-N（a）的表达式．

Answer 1

解：（Ⅰ）由A（0，1）满足f（x）解析式，∴c=1，
又f′（x）=2ax+b，x=0时f（0）=b=-2，∴b=-2
∴b=-2，c=1
（Ⅱ）
∵，∴．∴当时，（6分）
当时，
当时，（10分）
∴（13分）
分析：（I）根据函数f（x）过点A（0，1），且在该点处的切线与直线2x+y+1=0平行，建立方程组即可求出b与c的值；
（Ⅱ）对函数f（x）进行配方，得到对称轴，判定对称轴与区间[1，3]的位置关系，求出最小值，讨论对称轴与区间中值2的大小，求出最大值，然后利用分段函数表示F（a）即可．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数求闭区间上函数的最值等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类讨论的思想，属于中档题．