Question

10．已知等比数列{a_n}首项为1，公比q=2，前n项和为S_n，则下列结论正确的是（　　）

• A． ?n∈N^*，S_n＜a_n+1
• B． ?n∈N^*，a_n•a_n+1≤a_n+2
• C． ?n₀∈N^*，a${\;}_{{n}_{0}}$+a${\;}_{{n}_{0}+2}$=2a${\;}_{{n}_{0}+1}$
• D． ?n₀∈N^*，a${\;}_{{n}_{0}}$+a${\;}_{{n}_{0}+3}$=a${\;}_{{n}_{0}+1}$+a${\;}_{{n}_{0}+2}$

Answer 1

分析 由已知可得：a_n=2^n-1，${S}_{n}=\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1．分别代入化简判断即可得出．

解答 解：由已知可得：a_n=2^n-1，${S}_{n}=\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1．
A．?n∈N^*，S_n=2ⁿ-1＜2ⁿ=a_n+1，因此正确；
B．?n∈N^*，a_n•a_n+1=2^2n-1，a_n+2=2ⁿ⁺¹，当n＞2时，2^2n-1-2ⁿ⁺¹=2ⁿ（2^n-1-2）＞0，∴a_n•a_n+1=2^2n-1＞a_n+2，因此不正确；
C．a_n+a_n+2=2^n-1+2ⁿ⁺¹=2ⁿ×$\frac{5}{2}$，2a_n+1=2ⁿ+1，∴a_n+a_n+2-2a_n+1=${2}^{n}×\frac{3}{2}$-1＞0，因此不存在n₀∈N^*，a${\;}_{{n}_{0}}$+a${\;}_{{n}_{0}+2}$=2a${\;}_{{n}_{0}+1}$，因此不正确；
D．a_n+a_n+3=2^n-1+2ⁿ⁺²=2ⁿ×$\frac{9}{2}$，a_n+a_n+2=2^n-1+2ⁿ⁺¹=2ⁿ×$\frac{5}{2}$，∴a_n+a_n+3-（a_n+a_n+2）=2ⁿ×2＞0，因此不存在n₀∈N^*，a${\;}_{{n}_{0}}$+a${\;}_{{n}_{0}+3}$=a${\;}_{{n}_{0}+1}$+a${\;}_{{n}_{0}+2}$，因此不正确．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．