Question

对于整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得a=bq+r，0≤r＜|b|．特别地，当r=0时，称b能整除a，记作b|a，已知A={1，2，3，…，23}．
（Ⅰ）存在q∈A，使得2011=91q+r（0≤r＜91），试求q，r的值；
（Ⅱ）若B⊆A，card（B）=12（card（B）指集合B 中的元素的个数），且存在a，b∈B，b＜a，b|a，则称B为“谐和集”．请写出一个含有元素7的“谐和集”B₀和一个含有元素8的非“谐和集”C，并求最大的m∈A，使含m的集合A有12个元素的任意子集为“谐和集”，并说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为2011=91q+r，所以2011=91×22+9．（2分）
又因为q∈A，所以q=22，r=9．（4分）
（Ⅱ）含有元素7的一个“和谐集”
B₀={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}．（5分）
含有元素8的一个非“和谐集”
C={8，9，10，11，12，13，14，15，17，19，21，23}．（7分）
当m=8时，记M={7+i|i=1，2，…，16}，
N={2（7+i）|i=1，2，3，4}，
记P=C_MN，则card（P）=12．
显然对任意1≤i＜j≤16，不存在n≥3，使得7+j=n（7+i）成立．
故P是非“和谐集”，此时P={8，9，10，11，12，13，14，15，17，19，21，23}．
同理，当m=9，10，11，12时，存在含m的集合A的有12个元素的子集为非“和谐集”．
因此m≤7．（10分）
下面证明：含7的任意集合A的有12个元素的子集为“和谐集”．
设B={a₁，a₂，…，a₁₁，7}，
若1，14，21中之一为集合B的元素，显然为“和谐集”．
现考虑1，14，21都不属于集合B，构造集合B₁={2，4，8，16}，
B₂={3，6，12}，B₃={5，10，20}，B₄={9，18}，B₅={11，22}，
B′={13，15，17，19，23}．（12分）
以上B₁，B₂，B₃，B₄，B₅每个集合中的元素都是倍数关系．
考虑B'⊆B的情况，也即B′中5个元素全都是B的元素，
B中剩下6个元素必须从B₁，B₂，B₃，B₄，B₅这5个集合中选取6个元素，
那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B中至少有两个元素存在倍数关系．
综上，含7的任意集合A的有12个元素的子集B为“和谐集”，即m的最大值为7．
分析：（Ⅰ）将2011除以91，便可求相应的商与余数；
（Ⅱ）先写出一个含有元素7的“谐和集”B₀和一个含有元素8的非“谐和集”C，再证明：含7的任意集合A的有12个元素的子集为“和谐集”．
点评：本题是新定义题，考查了子集与真子集，解答的关键是读懂题意，巧妙运用，有一定的难度．