Question

如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD=DB，点C为圆O上一点，且BC=AC．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．
（1）求证：PA⊥CD；
（2）求二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用平面几何知识与线面垂直的性质证线线垂直，由线线垂直⇒线面垂直，再由线面垂直⇒线线垂直；
（2）通过作出二面角的平面角，证明符合定义，再在三角形中求解．
解答：解析：（1）连接OC，由3AD=BD知，点D为AO的中点，
又∵AB为圆的直径，∴AC⊥BC，
∵AC=BC，∴∠CAB=60°，
∴△ACO为等边三角形，∴CD⊥AO．
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
∴PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC，
∴PD⊥CD，PD∩AO=D，
∴CD⊥平面PAB，PA?平面PAB，
∴PA⊥CD．
（2）过点D作DE⊥PB，垂足为E，连接CE，
由（1）知CD⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
∴CD⊥PB，又DE∩CD=D，
∴PB⊥平面CDE，又CE?平面CDE，
∴CE⊥PB，
∴∠DEC为二面角C-PB-A的平面角．
由（1）可知CD=，PD=BD=3，
∴PB=3，则DE==，
∴在Rt△CDE中，tan∠DEC==，
∴cos∠DEC=，即二面角C-PB-A的余弦值为．
点评：本题考查线线垂直的判定、二面角的平面角及求法．二面角的求法：法1、作角（根据定义作二面角的平面角）--证角（符合定义）--求角（解三角形）；
法2、空间向量法，求得两平面的法向量，再利用向量的数量积公式求夹角的余弦值．