Question

如图，在海中一灯塔D的周围有两个观察站A和C．已知观察站A在灯塔D的正北5海里处，观察站C在灯塔D的正西方．海面上有一船B，在A点测得其在南偏西60°方向4海里处，在C点测得其在北偏西30°方向上．
（I）求两观测点A与C的距离；
（II）设∠BCA=θ，求cos（θ-45°）

Answer 1

分析：（I）由题意可得∠BCD=120°，A、B、C、D 四点共圆，且AC为直径，∠ABC=90°，AD=5，AB=4，由余弦定理求出
BD的值，再由正弦定理求出AC．
（II） 设∠BCA=θ，则∠DCA=120°-θ，△ABC中，由正弦定理求出sinθ，可得cosθ，再由两角差的余弦公式求出
cos（θ-45°）的值．

解答：解：（I）由题意可得∠BCD=120°，∴A、B、C、D 四点共圆，且AC为直径，∠ABC=90°，AD=5，AB=4．
BD=

AB2+AD2-2AB×ADcos∠BAD

=

42+52-2×4×5cos60°

=

21

．
∴AC=2R=

BD

sin∠BCD

=

21

sin120°

=2

7

．
（II） 设∠BCA=θ，则∠DCA=120°-θ，Rt△ABC中，由正弦定理可得

AB

sinθ

=

AC

sin90°

，
∴sinθ=

2 7

7

，cosθ=

21

7

．
∴cos（θ-45°）=cosθcos45°+sinθsin45°=

42 +2 14

14

．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角差的余弦公式，解三角形的实际应用，属于中档题．