Question

19．已知等差数列{a_n}的公差d为正数，a₁=1，2（a_na_n+1+1）=tn（1+a_n），t为常数，则a_n=2n-1．

Answer 1

分析 根据数列的递推关系式，先求出t=4，即可得到{a_2n-1}是首项为1，公差为4的等差数列，a_2n-1=4n-3，{a_2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a_2n=4n-1，问题得以解决．

解答 解：由题设2（a_na_n+1+1）=tn（1+a_n），即a_na_n+1+1=tS_n，可得a_n+1a_n+2+1=tS_n+1，两式相减得a_n+1（a_n+2-a_n）=ta_n+1，
由a_n+2-a_n=t，2（a₁a₂+1）=t（1+a₁）
可得a₂=t-1，
由a_n+2-a_n=t可知a₃=t+1，
因为{a_n}为等差数列，所以令2a₂=a₁+a₃，
解得t=4，
故a_n+2-a_n=4，
由此可得{a_2n-1}是首项为1，公差为4的等差数列，a_2n-1=4n-3，
{a_2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a_2n=4n-1，
所以a_n=2n-1，
故答案为：2n-1．

点评 本题考查了数列的通项公式的求法，关键掌握数列的递推关系式，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题