Question

（2012•东莞市模拟）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）若θ为锐角，且f(θ+

π

8

)=

2

3

，求tan2θ的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）通过θ为锐角，且f(θ+

π

8

)=

2

3

，求出cos2θ的值，sin2θ的值，然后求tan2θ的值．

解答：（1）解：f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x（2分）
=

2

(

2

2

sin2x+

2

2

cos2x)（3分）
=

2

sin(2x+

π

4

)．（4分）
∴f（x）的最小正周期为

2π

2

=π，最大值为

2

．（6分）
（2）解：∵f(θ+

π

8

)=

2

3

，∴

2

sin(2θ+

π

2

)=

2

3

．（7分）
∴cos2θ=

1

3

．（8分）
∵θ为锐角，即0＜θ＜

π

2

，∴0＜2θ＜π．
∴sin2θ=

1-cos22θ

=

2 2

3

．（10分）
∴tan2θ=

sin2θ

cos2θ

=2

2

．（12分）

点评：本小题主要考查三角函数性质，同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力．