Question

若Sn=sin

π

5

+sin

2π

5

+…+sin

nπ

5

（n∈N^*），则在S₁，S₂，…，S₂₀中，正数的个数是

16

．

Answer 1

分析：由于一，二象限角的正弦值为正，三，四象限角的正弦值为负值，故sin

π

5

＞0，…，sin

4π

5

＞0，sin

5π

5

=0，sin

6π

5

＜0，…，sin

9π

5

＜0，sin

10π

5

=0，可得到S₁＞0，…S₈＞0，而S₉=S₁₀=0，从而可得到周期性的规律，从而得到答案．

解答：解：∵sin

π

5

＞0，sin

2π

5

＞0，sin

3π

5

＞0，sin

4π

5

＞0，sin

5π

5

=0，
sin

6π

5

=-sin

4π

5

＜0，…，sin

9π

5

=-sin

π

5

＜0，sin

10π

5

=0，
∴S₁=sin

π

5

＞0，
S₂=sin

π

5

+sin

2π

5

＞0，
…，
S₈=sin

π

5

+sin

2π

5

+…+sin

8π

5

=sin

π

5

＞0，
而S₉=sin

π

5

+sin

2π

5

+…+sin

8π

5

+sin

9π

5

=sin

π

5

-sin

π

5

=0，
S₁₀=S₉+sin

10π

5

=0+0=0，
又S₁₁=S₁₀+sin

π

5

=0+sin

π

5

=S₁＞0，S₁₂=S₂＞0，…S₁₉=S₉=0，S₂₀=S₁₀=0，
∴在S₁，S₂，…，S₂₀中，为0的项共有4项，其余项都为正数．
故在S₁，S₂，…，S₂₀中，正数的个数是16．
故答案为：16．

点评：本题考查数列与三角函数的综合，通过分析sin

nπ

7

的符号，找出S₁，S₂，…，S₂₀中，S_10n-1=0，S_10n=0是关键，也是难点，考查学生分析运算能力与冷静坚持的态度，属于中档题．