Question

如图所示，某农场在P处有一个肥堆，今要把这堆肥料沿道路PA或PB送到大田ABCD中去．已知PA＝100米，PB＝150米，∠APB＝，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近，而另一侧的点则沿道路PB送肥较近?如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程。

Answer 1

答案：
解析：

解：大田ABCD中的点可分为三类：第一类沿PA送肥较近，第二类沿PB送肥较近，第三类沿PA或PB送肥一样远近．由题意知，界线是第三类点的轨迹． 　　设M是界线上任一点，则｜PA｜+｜MA｜＝｜PB｜+｜MB｜， 　　即｜MA｜－｜MB｜＝｜PB｜－｜PA｜ 　　　　　　　　　　　＝150－100＝50(定值)． 　　因此，所求界线是以A、B为焦点的双曲线的一支． 　　以直线AB为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，如图建立直角坐标系，则所求曲线方程标准形式为－＝1， 　　其中a＝25． 　　2c＝｜AB｜ 　　　＝ 　　　＝50， 　　c＝25，b2＝c2－a2＝3750． 　　因此，所求双曲线方程为－＝1(x≥25)． 　　分析：由题意列出几何等式，借助于圆锥曲线的定义解题． 　　点评：在分析几何因素时，将｜PA｜+｜MA｜＝｜PB｜+｜MB｜转化为｜MA｜－｜MB｜－｜PB｜－｜PA｜为定值是解题的关键．