Question

19．直线y=2b与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{19}}{2}$．

Answer 1

分析 利用条件得出∠AOC=60°，C（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$b，2b），代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得$\frac{\frac{4}{3}{b}^{2}}{{a}^{2}}$-4=1，b=$\frac{\sqrt{15}}{2}$a，即可得出结论．

解答 解：∵∠AOC=∠BOC，
∴∠AOC=60°，
∴C（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$b，2b），
代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得$\frac{\frac{4}{3}{b}^{2}}{{a}^{2}}$-4=1，∴b=$\frac{\sqrt{15}}{2}$a，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{19}}{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{19}}{2}$，
故答案为$\frac{\sqrt{19}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．