Question

若对任意的a∈R，不等式|x|+|x-1|≥|1+a|-|1-a|恒成立，则实数x的取值范围是

（-∞，-

1

2

]∪[

3

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：由于|1+a|-|1-a|≤|1+a+1-a|=2，故原不等式可得|x|+|x-1|≥2．而-

1

2

、

3

2

对应点到0和1对应点的距离之和正好等于2，由此求得|x|+|x-1|≥2的解集．

解答：解：由绝对值不等式的性质可得|1+a|-|1-a|≤|1+a+1-a|=2，∴由原不等式可得|x|+|x-1|≥2．
由于|x|+|x-1|表示数轴上的x对应点到0和1对应点的距离之和，而-

1

2

、

3

2

对应点到0和1对应点的距离之和正好等于2，
故|x|+|x-1|≥2的解集为（-∞，-

1

2

]∪[

3

2

，+∞），
故答案为 （-∞，-

1

2

]∪[

3

2

，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的性质、绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．