Question

已知a＞0，b∈R，函数。
（Ⅰ）证明：当0≤x≤1时，
（i）函数的最大值为|2a-b|﹢a；
（ii）＋|2a-b|﹢a≥0；
（Ⅱ）若-1≤≤1对x∈[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ） （ⅰ） 当b≤0时，＞0在0≤x≤1上恒成立， 此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a； 当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断， 此时的最大值为： ＝|2a－b|﹢a； 综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a； （ⅱ） 要证＋|2a－b|﹢a≥0，即证＝﹣≤|2a－b|﹢a． 亦即证在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a－b|﹢a， ∵， ∴令 当b≤0时，＜0在0≤x≤1上恒成立， 此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a； 当b＜0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断， ≤|2a－b|﹢a； 综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a－b|﹢a． 即＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a， 且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣（|2a－b|﹢a）要大 ∵﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立， ∴|2a－b|﹢a≤1 取b为纵轴，a为横轴．则可行域为：和，目标函数为z＝a＋b． 作图如下：由图易得：当目标函数为z＝a＋b过P（1，2）时，有 ∴所求a＋b的取值范围为：。