Question

已知椭圆E₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，E₂：

x2

a2

+

y2

b2

=2，过E₁上第一象限上一点P作E₁的切线，交于E₂于A，B两点．
（Ⅰ）已知x²+y²=r²上一点P（x₀，y₀），则过点P（x₀，y₀）的切线方程为xx₀+yy₀=r²．类比此结论，写出椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1在其上一点P（x₀，y₀）的切线方程，并证明；
（Ⅱ）求证：|AP|=|BP|．

Answer 1

考点：圆锥曲线的综合

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）切线方程

x0x

a2

+

y0y

b2

=1，利用导数法求斜率，即可得出结论；
（Ⅱ）

x0x

a2

+

y0y

b2

=1与

x2

a2

+

y2

b2

=2联立，利用韦达定理证明P为A，B中点，可得结论．

解答： （Ⅰ）解：切线方程

x0x

a2

+

y0y

b2

=1
在第一象限内，由

x2

a2

+

y2

b2

=1可得y=

b

a

a2-x2

-------------（2分）
椭圆在点P处的切线斜率k=-

b2x0

a2y0

----------------（4分）
切线方程为y=-

b2x0

a2y0

（x-x₀）+y₀，即

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．----------------（6分）
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x0x

a2

+

y0y

b2

=1与

x2

a2

+

y2

b2

=2联立可得（b2+

x02b4

y02a2

）x²-

2x0b4

y02

x+

a2b4

y02

-2a²b²=0---------------（9分）
所以

1

2

（x₁+x₂）=

1

2

•

2x0b4 y02

b2+ x02b4 y02a2

=x₀，
所以P为A，B中点，所以|AP|=|BP|．---------------（13分）

点评：本题考查：圆锥曲线的综合，考查导数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．