Question

（2009•河东区二模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
（1）设F是椭圆的一个焦点，M椭圆上的任意一点，|MF|的最大值与最小值的算术平均等于4，椭圆的顶点A与N（-2，0）关于直线x+y=0对称，求此椭圆方程；
（2）设点P是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上异于长轴端点的任意一点，F₁、F₂为两焦点，记∠F₁PF₂=θ，求证|PF1|•|PF2|=

2b2

1+cosθ

．

Answer 1

分析：（1）由题意可得|MF|_max=a+c，|MF|_min=a-c，及题意可得a．再利用轴对称即可得出点A，即可．
（2）利用椭圆的定义和余弦定理即可得出．

解答：解：（1）∵|MF|_max=a+c，|MF|_min=a-c，
∴

1

2

(a+c+a-c)=a=4，
又A与N（-2，0）关于y=-x对称，∴有A（0，2），∴b=2．
∴椭圆方程为

x2

16

+

y2

4

=1．
（2）∵|PF₁|+|PF₂|=2a，
在△PF₁F₂中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF1|cosθ
=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF1|-2|PF1||PF2|cosθ，
∴（2c）²=（2a）²-2（1+cosθ）|PF₁||PF₂|，
∴|PF1|•|PF2|=

2a2-2c2

1+cosθ

=

2b2

1+cosθ

．

点评：熟练掌握椭圆的定义与性质、余弦定理等是解题的关键．