Question

（1）不等式（m-2）x²+2（m-2）x-4＜0对一切实数x都成立，求实数m的取值范围．
（2）当m∈[-1，1]时，不等式2x²+mx-3＜0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分二次项系数为0，与不为0，进行讨论，再利用二次函数的性质，即可求得实数m的取值范围．
（2）变换主元，构造函数f（m）=xm+2x²-3，从而可建立不等关系，即可求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）①当m=2时，不等式为-4＜0对一切实数x都成立，
②

m＜2 △＜0

，
∴

m＜2 4(m-2)2+16(m-2)＜0

∴

m＜2 (m-2)(m+2)＜0

∴-2＜m＜2
所以m∈（-2，2]
（2）变换主元，构造函数f（m）=xm+2x²-3
∵m∈[-1，1]时，不等式2x²+mx-3＜0恒成立
∴

f(-1)＜0 f(1)＜0

∴

2-x-3＜0 2+x-3＜0

∴x∈（-1，1）

点评：本题以不等式为载体，考查恒成立问题，解题的关键是等价转化，构造新函数．