Question

如图，∠ADC=150°，∠BDC=120°，AD=1，BD=

3

，现将△ADC沿DC边折起，使二面角A-DC-B的大小为60°，此时直线AB与平面BCD所成角的正弦值为

 

．

Answer 1

分析：先作出A在面BDC上的投影，再作出二面角B-CD-A的平面角，由二面角的大小已知可求得点A到面BDC的距离，再求出线段AB的长度，进而可得线面角的正弦值．

解答：解：如图，作AF⊥面BDC于F，过F作FE⊥CD延长线于E，连接AE，由作图知AF⊥CD，
由线面垂直的判定定理知CD⊥面AEF，所以CD⊥AE，故∠AEF即二面角A-CD-B的平面角，故∠AEF=60°，
又∠ADC=150°，故∠ADE=30°，由AD=1，可得AE=

1

2

，DE=

3

2

∴EF=AE×cos60°=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
AF=AEsin60°=

1

2

×

3

2

=

3

4

过B作BM⊥CD延长线于M，由∠BDC=120°得∠BDM=60°
又BD=

3

，故BM=

3

2

，DM=

3

2

，故M与E重合，
所以B，F，E，三点共线，则BF=

3

2

-

1

4

=

5

4

所以AB=

AF2+BF2

=

7

2

由上知∠ABF即线段AB与面BCD所成的角
sin∠ABF=

AF

AB

=

3 4

7 2

=

21

14

故应填

21

14

点评：考查二面角，线面角的定义及相应平面角的作法．