Question

已知l是过正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点的平面AB₁D₁与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是（　　）

A、D₁B₁∥l

B、BD∥平面AD₁B₁

C、l∥平面A₁D₁B₁

D、l⊥B₁C₁

Answer 1

分析：先根据题意画出图形，再证明由D₁B₁∥BD，证明D₁B₁∥平面ABCD，再由线面平行的性质定理证明D₁B₁∥l．再根据直线与平面平行的判定定理得l∥平面A₁D₁B₁，和BD∥平面AD₁B₁，对于选项D，可通过反面进行论证．

解答：解：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁B₁∥BD，
∵BD?平面ABCD，D₁B₁?平面ABCD
∴D₁B₁∥平面ABCD．
又∵平面ABCD∩平面AD₁B₁=l，
∴D₁B₁∥l．故A正确；
∵D₁B₁?平面A₁D₁B₁，∴l∥平面A₁D₁B₁，选项C正确；
∵BD∥D₁B₁，D₁B₁?平面AD₁B₁，∴BD∥平面AD₁B₁，故B正确．
从而选D．
故选D．

点评：本题考查了平行判定与性质定理的应用，用于线线平行于线面平行的转化，属于基础题．