Question

如图，在四棱锥中，平面，平面，，．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

Answer 1

【命题意图】本题考查空间位置关系、二面角等有关知识，考查空间想象能力，中等题．

【答案】(Ⅰ)证明：取BE的中点O，AE的中点F，连OC，OF，DF，则2OFBA

∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，∴2CD BA，

∴OFCD，∴OC∥FD    

∵BC=CE，∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE.

∴OC⊥平面ABE. ∴FD⊥平面ABE.

从而平面ADE⊥平面ABE.     ………………6分

(Ⅱ)二面角A—EB—D与二面角F—EB—D相等，

由(Ⅰ)知二面角F—EB—D的平面角为∠FOD。

BC=CE=2, ∠BCE=120⁰，OC⊥BE得BO=OE=，OC=1，

∴OFDC为正方形，∴∠FOD=，

∴二面角A—EB—D的大小为．   ……………………12分

解法2：取BE的中点O，连OC.∵BC=CE, ∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE.

以O为原点建立如图空间直角坐标系O－xyz，

则由已知条件有: ，，

设平面ADE的法向量为，

则由·

及·

可取

又AB⊥平面BCE，∴AB⊥OC，OC⊥平面ABE，

∴平面ABE的法向量可取为＝.

∵··=0, ∴⊥，∴平面ADE⊥平面ABE.…… 6分

（Ⅱ）设平面BDE的法向量为，

则由·

及·可取

∵平面ABE的法向量可取为＝

∴锐二面角A—EB—D的余弦值为=，

∴二面角A—EB—D的大小为．          ……………………………12分