Question

定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x₀，有 f （x₀）=x₀，则称x₀是f （x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1 （a≠0）．
（Ⅰ）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；
（Ⅱ）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+

a

5a2-4a+1

对称，求b的最小值．

Answer 1

分析：（I）将a=1，b=-2代入f（x）=ax²+（b+1）x+b-1 （a≠0），求出f（x），令f（x）=x，解方程求不动点即可；
（II）由ax²+（b+1）x+b-1=x有两个不动点，即ax²+bx+b-1=0有两个不等实根，可通过判别式大于0得到关于参数a，b的不等式b²-4ab+4a＞0，由于此不等式恒成立，配方可得b²-4ab+4a=（b-2a）²+4a-4a²＞0恒成立，将此不等式恒成立转化为4a-4a²＞0即可．
（III）由于本小题需要根据两个点A、B的坐标转化点关于线的对称这一条件，故可以先设出两点的坐标分别为A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）（x₁≠x₂），由斜率公式求得k_AB=1，又对称性知直线y=kx+

a

5a2-4a+1

的斜率k=-1将其代入直线的方程，可以得到x₁+x₂=

a

5a2-4a+1

，由此联想到根与系数的关系，由（II）知，x₁、x₂应是方程ax²+bx+b-1=0的根，故又可得x₁+x₂=-

b

a

，至此题设中的条件转化为-

b

a

=

a

5a2-4a+1

，观察发现参数b可以表示成参数a的函数即b=-

a2

5a2-4a+1

，至此，求参数b的问题转化为求b关于a的函数最小值的问题．

解答：解：（Ⅰ）当a=1，b=-2时，有f （x）=x²-x-3，
令x²-x-3=x，化简得：x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，或x₂=3
故所求的不动点为-1或3．（4分）

（Ⅱ）令ax²+（b+1）x+b-1=x，则ax²+bx+b-1=0①
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以△=b²-4a（b-1）＞0，
即b²-4ab+4a＞0恒成立，（6分）
整理得b²-4ab+4a=（b-2a）²+4a-4a²＞0，
故4a-4a²＞0，即0＜a＜1（8分）

（Ⅲ）设A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）（x₁≠x₂），则k_AB=1，∴k=-1，
所以y=-x+

a

5a2-4a+1

，（9分）
又AB的中点在该直线上，所以

x1+x2

2

=-

x1+x2

2

+

a

5a2-4a+1

，
∴x₁+x₂=

a

5a2-4a+1

，
而x₁、x₂应是方程①的两个根，所以x₁+x₂=-

b

a

，即-

b

a

=

a

5a2-4a+1

，
∴b=-

a2

5a2-4a+1

（12分）
=-

1

( 1 a )2-4( 1 a )+5

=

1

( 1 a -2)2+1

∴当a=

1

2

∈（0，1）时，b_min=-1．（14分）

点评：本题考点是二次函数的性质，主要考查二次函数、方程的基本性质、不等式的有关知识，同时考查函数思想、数形结合思想、逻辑推理能力和创新意识．