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    如图2-6-25,已知△ABC内接于⊙O,∠A的外角平分线交BC的延长线于D,交⊙O于E,求证:AD2=BD·CD-AB·AC.

    图2-6-25

    思路分析:由BD·CD可联想到割线定理,则BD·CD=DA·DE=DA(AD+AE)=AD2+AD·AE.

    只需证AD·AE=AB·AC即可.

    事实上,由△ABE∽△ADC易证.

    证明:连结BE,

    由割线定理,得BD·CD=DA·DE,

    ∵∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠3.

    又∵∠ACD=∠E,∴△ABE∽△ADC.

    ∴=.

    ∴AB·AC=AD·AE.

    ∴BD·CD-AB·AC=DA·DE-AD·AE=AD(DE-AE)=AD2.

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