Question

8．已知定义在R上的函数f（x）=x²+cosx，则三个数a=f（1），b=f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{4}$），c=f（log₂$\frac{\sqrt{2}}{2}$）的大小关系为（　　）

• A． a＞b＞c
• B． a＞c＞b
• C． b＞a＞c
• D． c＞a＞b

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而比较函数值的大小即可．

解答 解：f（x）=x²+cosx，f′（x）=2x-sinx，f″（x）=2-cosx＞0，
∴f′（x）在R递增，而f′（0）=0，
∴x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
而f（-x）=x²+c0s（-x）=x²+cosx=f（x），
∵log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{4}$=2，log₂$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
∴f（log₂$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$），
∵$\frac{1}{2}$＜1＜2，
∴f（$\frac{1}{2}$）＜f（1）＜f（2），
∴c＜a＜b，
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数的奇偶性问题，是一道中档题．