Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D，D₁分别为棱BC，B₁C₁的中点．
（1）求证：直线A₁D₁∥平面ADC₁．
（2）求证：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（3）设底面边长为2，侧棱长为4，求二面角C₁-AD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用线面平行的判定定理，只需证明平面外的直线平行于平面内的一条直线，证明A₁D₁∥AD即可；
（2）利用面面垂直的判定定理，只需证明一个平面经过另一个平面的垂直，证明AD⊥平面BCC₁B₁即可；
（3）先判断∠C₁DC为二面角C₁-AD-C的平面角，再在Rt△C₁CD中求解即可．

解答：（1）证明：连接DD₁，∵点D₁为棱B₁C₁的中点，
则DD1

∥

.

CC1

∥

.

AA1，所以四边形AA₁D₁D为平行四边形
∴A₁D₁∥AD．  …（3分）
又AD?平面ADC₁，A₁D₁?平面ADC₁，
∴A₁D₁∥平面ADC₁…（5分）
（2）证明：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵CC₁⊥底面ABC，又AD?底面ABC
∴AD⊥CC₁…（7分）
∵点D为棱BC的中点，
∴AD⊥BC，…（8分）
CC₁?平面BCC₁B₁，BC?平面BCC₁B₁，CC₁∩BC=C，
∴AD⊥平面BCC₁B₁…（9分）
又∵AD?平面ADC₁，
∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁…（10分）
（3）解：由（1）得AD⊥平面BCC₁B₁，
∴AD⊥BC，AD⊥C₁D
∴∠C₁DC为二面角C₁-AD-C的平面角 …（12分）
又CD=1，CC₁=4，∴C1D=

17

在Rt△C₁CD中，cos∠C1DC=

CD

C1D

=

1

17

=

17

17

∴二面角C₁-AD-C的余弦值为

17

17

．…（14分）

点评：本题以正三棱柱为载体，考查线面、面面位置关系，考查面面角，解题的关键是正确掌握线面平行、面面垂直的判定定理．