Question

3．已知方程x²+y²+（$\sqrt{3}$t+1）x+ty+t²-2=0表示一个圆．
（1）求t的取值范围；
（2）若圆的直径为6，求t的值．

Answer 1

分析 （1）利用方程表示圆的条件D²+E²-4F＞0，建立不等式，即可求出实数t的取值范围；
（2）利用r=$\frac{1}{2}\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-4F}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2\sqrt{3}t+9}$=3，即可求出t的值．

解答 解：（1）∵方程x²+y²+（$\sqrt{3}$t+1）x+ty+t²-2=0表示圆，
∴D²+E²-4F=（$\sqrt{3}$t+1）²+t²-4（t²-2）=2$\sqrt{3}$t+9＞0，
∴t＞-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
（2）r=$\frac{1}{2}\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-4F}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2\sqrt{3}t+9}$=3，∴t=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查圆的一般方程与圆的标准方程，考查解不等式，比较基础．