Question

已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29=0相切．
（1）求圆的方程；
（2）设直线ax-y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设圆心为M（m，0），m∈z，根据圆与直线4x+3y-29=0相切，可得

|4m+0-29|

16+9

=5，求得m的值，可得所求的圆的方程．
（2）把直线ax-y+5=0（a＞0）代入圆的方程可得 （a²+1）x²+2（5a-1）x+1=0．再由△＞0，求得a的范围．

解答：解：（1）设圆心为M（m，0），m∈z，根据圆与直线4x+3y-29=0相切，
可得

|4m+0-29|

16+9

=5，即|4m-29|=25，再根据m为整数求得m=1．
故所求的圆的方程为 （x-1）²+y²=25．
（2）把直线ax-y+5=0（a＞0）代入圆的方程可得 （a²+1）x²+2（5a-1）x+1=0．
由于直线ax-y+5=0和圆相交于A，B两点，可得△=4（5a-1）²-4（a²+1）＞0，
即 12a²-5a＞0，求得a＞

5

12

，故a的范围为（

5

12

，+∞）．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，一元二次不等式的解法，属于中档题．