Question

已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过（0，1），（1，）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：3x-3y-1=0交椭圆C与A、B两点，若T（0，1）求证：．

Answer 1

（Ⅰ）解：设椭圆C的方程为mx²+ny²=1（m＞0．n＞0）
由椭圆C过点过（0，1），（1，）得：，解得
∴椭圆C的方程为
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由消去y整理得27x²-12x-16=0，
由韦达定理得
由两边平方整理可得，故只需证明
=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=x₁x₂+y₁y₂+（y₁+y₂）+1
而
∴=
故恒成立
分析：（Ⅰ）设出椭圆C的方程，利用椭圆C过点过（0，1），（1，），建立方程组，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）由两边平方整理可得，故只需证明，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，及向量的数量积即可得到结论．
点评：本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，解题的关键是联立方程，正确运用韦达定理．