Question

17、形如45132这样的数叫做“五位波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由数字0，1，2，3，4，5，6，7可构成无重复数字的“五位波浪数”的个数为

718

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Answer 1

分析：由题意知，此题结构上比较复杂，需要考虑的因素过多，可以采用分类计数的办法求解本题，具体分类即要考虑定义“五位波浪数”，也要考虑十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，也要考虑特殊数字0在不在首位，具体分法请看解题过程

解答：解：大的方面按十位数字、千位数字分类，十位、千位分别为7与6，7与5，7与4，7与3，7与2，6与5，6与4，6与3，6与2，5与4，5与3，5与2，4与3，共13类，下开始分类计数
若十位、千位分别为是7与6，由于两数可交换位置故两者的安排有A₂²，再安排万位，不能取0，故A₅¹种，再安排百位与个位，共有A₅²，故总的种数为A₂²A₅¹A₅²=200，
若十位、千位分别为是7与5，若7在千位，5在十位，若有6时，6必在万位，则此种情况安排方法有A₅²种，若无6，则须先安排万位，有A₄¹种安排方法，其它两位有A₄²种安排方法即此种情况安排方法种数为A₄¹×A₄²，若7在十位，5在千位，若有6，则6必在个位，再安排万位有A₄¹种方法，百位也有A₄¹种方法，即此种情况有A₄¹×A₄¹，若无6，则万位安排方法有A₄¹种，百位与个位安排方法有A₄²种，此种情况有A₄¹×A₄²种，本类总的安排方法有
A₅²+A₄¹×A₄²+A₄¹×A₄¹+A₄¹×A₄²=20+48+16+48=132
若十位、千位分别为是7与4，若7在千位，4在十位，若有6或5之一时，则此数必在万位，则此种情况安排方法有A₂¹A₄²种，若无6与5，则须先安排万位，有A₃¹种安排方法，其它两位有A₃²种安排方法，即此种情况安排方法种数为A₃¹×A₃²，若7在十位，4在千位，若有6或5之一时，则其必在个位，再安排万位有A₃¹种方法，百位也有A₃¹种方法，即此种情况有A₂¹A₃¹×A₃¹，若无6或5，则万位安排方法有A₃¹种，百位与个位安排方法有A₃²种，此种情况有A₃¹×A₃²种，本类总的安排方法有A₂¹A₄²+A₃¹×A₃²+A₂¹A₃¹×A₃¹+A₃¹×A₃²=24+18+18+18=78
若十位、千位分别为是7与3，若7在千位，3在十位，若有6，5，4之一时，则其必在万位，则此种情况安排方法有A₃¹×A₃²种，若无6，5，4，则须先安排万位，有A₂¹种安排方法，其它两位有A₂²种安排方法，即此种情况安排方法种数为A₂¹×A₂²，若7在十位，3在千位，若有6，5，4，则其必在个位安排方法有A₃¹，再安排万位有A₂¹种方法，百位也有A₂¹种方法，即此种情况有A₃¹×A₂¹×A₂¹若无6，5，4，则万位安排方法有A₂¹种，百位与个位安排方法有A₂²种，此种情况有A₂¹×A₂²种，本类总的安排方法有A₃¹×A₃²+A₂¹×A₂²+A₃¹×A₂¹×A₂¹+A₂¹×A₂²=38
若十位、千位分别为是7与2，若7在千位，2在十位，若有6，5，4，3之一时，其必在万位，有A₄¹种安排方法，百位与个位有A₂²种安排方法，则此种情况有A₄¹×A₂²种安排方法，若7在十们，2在千位，安排方法有A₄¹种，本类总的安排方法为A₄¹×A₂²+A₄¹=12，
若十位、千位分别为是6与5，由于两数可交换位置故两者的安排有A₂²，再安排万位，不能取0，故A₄¹种，再安排百位与个位，共有A₄²，故总的种数为A₂²A₄¹A₄²=96，
若十位、千位分别为是6与4，其总的安排方法有A₄²+A₃¹×A₃²+A₃¹×A₃¹+A₃¹×A₃²=57
若十位、千位分别为是6与3，其总的安排方法有2A₃²+A₂¹×A₂²+2A₂¹×A₂¹+A₂¹×A₂²=28
若十位、千位分别为是6与2，其总的安排方法有A₃¹×A₂²+A₃¹=9
若十位、千位分别为是5与4，由于两数可交换位置故两者的安排有A₂²，再安排万位，不能取0，故A₃¹种，再安排百位与个位，共有A₃²，故总的种数为A₂²A₃¹A₃²=36，
若十位、千位分别为是5与3，其总的安排方法有A₃²+A₂¹×A₂²+A₂¹×A₂¹+A₂¹×A₂²=18
若十位、千位分别为是5与2，其总的安排方法有A₂¹×A₂²+A₂¹=6
若十位、千位分别为是4与3，由于两数可交换位置故两者的安排有A₂²，再安排万位，不能取0，故A₂¹种，再安排百位与个位，共有A₂²，故总的种数为A₂²A₂¹A₂²=8，
故总的安排方法有200+132+78+38+12+96+57+28+9+36+18+6+8=718

点评：本题考查排列组合及简单计数问题，解决问题的关键是要求出指定的事件由0，1，2，3，4，5，6，7可构成不重复的“五位波浪数”的个数，则要对该问题准确分类，做到不重复，不遗漏，正确求解结果．本题极易因为分类不清出错．