Question

已知定圆O₁、O₂的半径分别为r₁、r₂，圆心距|O₁O₂|=2，动圆C与圆O₁、O₂都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为e₁、e₂，则

e1+e2

e1e2

的值为（　　）

• A、r₁+r₂
• B、r₁和r₂中的较大者
• C、r₁和r₂中的较小者
• D、|r₁-r₂|

Answer 1

分析：不妨设r₂＞r₁．以线段O₁O₂的中点O为为坐标原点，直线O₁O₂为x轴建立直角坐标系．
①当动圆C与圆O₁、O₂都相外切时，|CO₂|-|CO₁|=r₂-r₁=2a，可得e1=

1

a

=

2

r2-r1

，

1

e1

=

r2-r1

2

．
②当动圆C与圆O₁相外切而与O₂相内切时，|CO₁|-|CO₂|=r₁+r₂=2a′，可得e2=

2

r1+r2

，

1

e2

=

r1+r2

2

．
进而得出答案．

解答：解：不妨设r₂＞r₁．
以线段O₁O₂的中点O为为坐标原点，直线O₁O₂为x轴建立直角坐标系．
①当动圆C与圆O₁、O₂都相外切时，|CO₂|-|CO₁|=r₂-r₁=2a，∴e1=

1

a

=

2

r2-r1

，∴

1

e1

=

r2-r1

2

．
②当动圆C与圆O₁相外切而与O₂相内切时，|CO₁|-|CO₂|=r₁+r₂=2a′，
∴e2=

2

r1+r2

，∴

1

e2

=

r1+r2

2

．
∴

e1+e2

e1e2

=

1

e1

+

1

e2

=

r2-r1

2

+

r2+r1

2

=r₂．
∴

e1+e2

e1e2

的值为r₂和r₁中较大的一个．
故选：B．

点评：本题考查了两圆相切的性质、双曲线的离心率，属于难题．