Question

已知矩阵A=

a k 0 1

（k≠0）的一个特征向量为α=

k -1

，A的逆矩阵A^-1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．求实数a，k的值．

Answer 1

考点：逆变换与逆矩阵

专题：选作题,矩阵和变换

分析：利用特征值与特征向量的定义，可求a；利用A的逆矩阵A^-1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1），可求k的值．

解答：解：设特征向量为α=

k -1

，对应的特征值为λ，则

a k 0 1

k -1

=λ

k -1

，即

ak-k=λk λ=1.

因为k≠0，所以a=2． …（5分）
因为A^-1

3 1

=

1 1

，所以A

1 1

=

3 1

，即

2 k 0 1

1 1

=

3 1

，
所以2+k=3，解得k=1．
综上，a=2，k=1．…（10分）

点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．