Question

19、如图三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱长均为2，∠CBB₁=∠ABB₁=120°，平面CBB₁C₁⊥平面ABB₁A₁，M是BA₁中点，N是CB₁中点．求证：MN∥平面ABC．

Answer 1

分析：取B₁B的中点D，连接MD和ND，根据中位线定理可知MD∥AB，ND∥BC，而MD?平面ABC，AB?平面ABC，ND?平面ABC，BC?平面ABC，根据线面平行的判定定理可知MD∥平面ABC，ND∥平面ABC，而MD∩ND=D，再根据面面平行的判定定理可知平面ABC∥平面MND，而MN?平面MND，最后根据面面平行的性质可知MN∥平面ABC．

解答：解：取B₁B的中点D，连接MD和ND
∵M是BA₁中点，N是CB₁中点．
∴MD∥AB，ND∥BC
而MD?平面ABC，AB?平面ABC，ND?平面ABC，BC?平面ABC
∴MD∥平面ABC，ND∥平面ABC，而MD∩ND=D
∴平面ABC∥平面MND
而MN?平面MND
∴MN∥平面ABC．

点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．