Question

已知椭圆C₁：＝1，抛物线C₂：(y－m)²＝2px(p＞0)，且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点．

(1)当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；

(2)若p＝且抛物线C₂的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称． 　　所以m＝0，直线AB的方程为x＝1，从而点A的坐标为(1，)或(1，－)． 　　因为点A在抛物线上，所以＝2p，即p＝． 　　此时C2的焦点坐标为(，0)，该焦点不在直线AB上． 　　(2)当C2的焦点在AB上时，由(1)知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x－1)． 　　由，消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0　　① 　　设A、B的坐标分别为(x1，y1)(x2，y2)， 　　则x1、x2是方程①的两根，x1＋x2＝． 　　因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦， 　　所以|AB|＝(2－x1)＋(2－x2)＝4－(x1＋x2)， 　　且|AB|＝(x1＋)＋(x2＋)＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋． 　　从而x1＋x2＋＝4－(x1＋x2)． 　　所以x1＋x2＝，即． 　　解得k2＝6，即k＝±． 　　因为C2的焦点F′(，m)在直线y＝k(x－1)上，所以m＝k，即m＝或m＝－． 　　当m＝时，直线AB的方程为y＝－(x－1)； 　　当m＝－时，直线AB的方程为y＝(x－1)．