Question

15．用导数证明：$\frac{si{n}^{8}x}{8}$-$\frac{co{s}^{8}x}{8}$-$\frac{si{n}^{6}x}{3}$+$\frac{co{s}^{6}x}{6}$+$\frac{si{n}^{4}x}{4}$=$\frac{1}{24}$．

Answer 1

分析 构造函数f（x）=$\frac{si{n}^{8}x}{8}$-$\frac{co{s}^{8}x}{8}$-$\frac{si{n}^{6}x}{3}$+$\frac{co{s}^{6}x}{6}$+$\frac{si{n}^{4}x}{4}$，求导，根据三角函数的化简，得到f′（x）=0，即f（x）为常数函数，求出令f（0）即可证明．

解答 证明：记f（x）=$\frac{si{n}^{8}x}{8}$-$\frac{co{s}^{8}x}{8}$-$\frac{si{n}^{6}x}{3}$+$\frac{co{s}^{6}x}{6}$+$\frac{si{n}^{4}x}{4}$，
∴f′（x）=sin⁷xcosx+cos⁷xsinx-2sin⁵xcosx-cos⁵xsinx+sin³xcosx，
=sinxcosx（sin⁶x+cos⁶x）-（sin⁵xcosx+cos⁵xsinx）-（sin⁵xcosx-sin³xcosx），
=sinxcosx（sin²x+cos²x）（sin⁴x-sin²xcos²x+cos⁴x）-sinxcosx（sin⁴x+cos⁴x）-sin³xcosx（sin²x-1），
=sinxcosx（sin⁴x-sin²xcos²x+cos⁴x）-sinxcosx（sin⁴x+cos⁴x）+sinxcosx•sin²xcos²x
=0，
∴f（x）是常数函数，
∴f（x）=f（0）=$\frac{si{n}^{8}0}{8}$-$\frac{co{s}^{8}0}{8}$-$\frac{si{n}^{6}0}{3}$+$\frac{co{s}^{6}0}{6}$+$\frac{si{n}^{4}0}{4}$=-$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{24}$

点评 本题考查了导数的运算法则，三角函数的化简，关键是三角函数的化简，属于中档题．