Question

如图，已知正四面体ABCD的棱长为3cm．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）已知点E是CD的中点，点P在△ABC的内部及边界上运动，且满足EP∥平面ABD，试求点P的轨迹；
（3）有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12cm之后，求恰好回到A点的概率．

Answer 1

分析：（1）取BC中点M，连AM、DM，由△ABC及△BCD均为正三角形，可得BC⊥AM，BC⊥DM；进而可得BC⊥平面ADM，由线面垂直的性质可得证明；
（2）取BC中点M，连接EM，并取AC的中点Q，连QE，QM，根据线面平行的判定定理可得：EQ∥平面ABD，MQ∥平面ABD，再结合面面平行的判定定理得到：平面QEM∥平面ABD，进而得到点P的轨迹为线段QM．
（2）由题意可得：小虫共走过了4条棱，并且得到基本事件总数为81，再分别讨论当小虫走第1条棱时，第2条棱，第3条棱的所有走法，即可得到小虫走12cm后仍回到A点的所有走法为21种，进而根据等可能事件的概率公式求出答案．

解答：解：（1）证明：取BC中点M，连AM、DM，
因△ABC及△BCD均为正三角形，故BC⊥AM，BC⊥DM．
因AM，DM为平面ADM内的两条相交直线，
故BC⊥平面ADM，于是BC⊥AD．
（2）连接EM，并取AC的中点Q，连QE，QM．于是EQ∥AD，故EQ∥平面ABD．
同理MQ∥平面ABD．
因EQ，MQ为平面QEM内的两条相交直线，
故平面QEM∥平面ABD，从而点P的轨迹为线段QM．       
（3）依题设小虫共走过了4条棱，每次走某条棱均有3种选择，
故所有等可能基本事件总数为3⁴=81．                                
走第1条棱时，有3种选择，不妨设走了AB，然后走第2条棱为：或BA或BC或BD．
若第2条棱走的为BA，则第3条棱可以选择走AB，AC，AD，计3种可能；
若第2条棱走的为BC，则第3条棱可以选择走CB，CD，计2种可能；
同理第2条棱走BD时，第3棱的走法亦有2种选择．                     
故小虫走12cm后仍回到A点的选择有3×（3+2+2）=21种可能．
于是，所求的概率为

21

81

=

7

27

．

点评：本题考查等可能事件的概率、线线垂直、线面平行的性质与判定，是一道综合题；解题时要注意结合三棱锥的几何结构特征，进行概率计算．