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     3. 如图所示，正四面体V—ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.

    （1）求证：AO、BO、CO两两垂直；

    （2）求〈,〉.

    （1）证明略（2）45°


    解析:

    (1)  设=a,=b, =c,正四面体的棱长为1,

    则=(a+b+c),=(b+c-5a),

    =(a+c-5b), =(a+b-5c)

    ∴·=（b+c-5a）·（a+c-5b）

    =（18a·b-9|a|2）

    =（18×1×1·cos60°-9）=0.

    ∴⊥，∴AO⊥BO，

    同理⊥，BO⊥CO，

    ∴AO、BO、CO两两垂直.

    （2）  =+=-（a+b+c）+

    =(-2a-2b+c).

    ∴||==，

    ||==，

    ·=（-2a-2b+c）·（b+c-5a）=，

    ∴cos〈,〉==，

    ∵〈,〉∈(0,),∴〈, 〉=45°.

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    cm2．

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    [    ]

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    [　　]

    A．

    B．

    C．

    D．

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