Question

（理）函数y=f（x）图象与h（x）=-x²+6x-8图象关于点（1，0）对称．
①求f（x）的表达式；
②设g（x）=f（x）-2x+|x+1-a|（a∈R），求g（x）的最小值．

Answer 1

分析：①设（x，y）是y=f（x）上任意一点，q求出其关于（1，0）的对称点，将对称点的坐标代入h（x）=-x²+6x-8的解析式即得到f（x）的解析式．
②通过对x的讨论将g（x）的解析式中的绝对值去掉，画出相应的图象，通过对a的分类讨论求出g（x）的最小值．

解答：解：①设（x，y）是y=f（x）上任意一点，则其关于（1，0）的对称点为（2-x，-y），
因为函数y=f（x）图象与h（x）=-x²+6x-8图象关于点（1，0）对称，
所以点（2-x，-y）应该在h（x）=-x²+6x-8的图象上，
所以-y=-（2-x）²+6（2-x）-8，
整理得y=x ²+2x，
所以f（x）=x²+2x，
②g（x）=f（x）-2x+|x+1-a|
=x²+|x+1-a|
=

x2+x+1-a，(x≥a-1) x2-x+a-1，(x＜a-1)

结合图象，
当a-1≤-

1

2

时即a≤

1

2

时，
当x=-

1

2

时，函数g（x）有最小值

3

4

-a
当a-1≥

1

2

时即a≥

3

2

时，
当x=

1

2

时，函数g（x）有最小值为a-

5

4

；
当

1

2

＜a＜

3

2

时，当x=a-1时函数g（x）有最小值（a-1）²
总之，g（x）的最小值为

3 4 -a(a≤ 1 2 ) (a-1)2( 1 2 ＜a＜ 3 2 ) a- 5 4 (a≥ 3 2 )

点评：本题考查根据函数的性质求函数的解析式、求二次函数的最值应该先求出二次函数的对称轴、考查分类讨论的数学思想方法，是一道较难的题目．