Question

（理做文不做）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD．底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=3，E，F分别为AD，PC的中点，点M在棱CD上，DM=a．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）求直线EF与平面PAB所成角的正弦值；
（3）若二面角M-PB-C的大小为60°，求a的值．

Answer 1

分析：（1）建立空间坐标系，求出直线EF的方向向量

EF

，及平面PAB的法向量

n

，结合

EF

•

n

=0，可得两个向量垂直，结合线面垂直的判定定理，可得EF∥平面PAB；
（2）由已知中平面PAB的法向量

n

，结合直线EF的方向向量

EF

，代入向量夹角公式，可得直线EF与平面PAB所成角的正弦值；
（3）分别求出平面PBC的一个法向量为

m

和平面PBM的一个法向量为

v

，根据二面角M-PB-C的大小为60°，代入向量夹角公式，构造关于a的方程，解方程可得a的值．

解答：解：（1）如图建立空间直角坐标系，
则P（0，0，1），A（0，1，0），B（1，1，0）
∴E（0，

1

2

，0），F（

3

2

，0，

1

2

）

EF

=（

3

2

，-

1

2

，

1

2

），

AP

=（0，-1，1），

AB

=（1，0，0）
设面PAB的法向量

n

=（x，y，z）
则

n • AP =0 n • AB =0

，即

-y+z=0 x=0

令y=1 则

n

=（0，1，1）
∵

n

•

EF

=0+（-

1

2

）×1+

1

2

×1=0
∴

n

⊥

EF

又EF不在面PAB内
∴EF∥面PAB…（6分）
（2）由（1）知面PAB的一个法向量

n

=（0，1，1），
又

BF

=（

1

2

，-1，

1

2

）
∴cos＜

n

，

BF

＞=

| n • BF |

| n |•| BF |

=

1 2

2 × 6 2

=

3

6

∴直线BF与平面PAB所成角的正弦值为

3

6

…（10分）
（3）∵P（0，0，1），C（3，0，0），M（0，a，0），a∈[0，3]

PM

=（0，a，-1），

PB

=（1，1，-1），

PC

=（0，3，-1）
设平面PBC的一个法向量为

m

=（x，y，z）

m • PB =0 m • PC =0

即

x+y-z=0 3y-z=0

令y=1 则

m

=（2，1，3）则|

m

|=

14

设平面PBM的一个法向量为

v

=（x，y，z）

v • PB =0 v • PM =0

即

x+y-z=0 ay-z=0

令y=1，则

v

=（a-1，1，a） 则|

v

|=

2a2-2a+2

∵二面角M-PB-C的大小为60°，
∴|cos＜

m

，

v

＞=

| m • v |

| m |•| v |

=

|5a-1|

14 • 2a2-2a+2

=

1

2

即6a²-a-2=0
解得a=

2

3

…（16分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法，建立空间坐标系，将空间夹角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．