Question

（08年康杰中学）（12分）如图所示，正三棱柱底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小；

（3）求直线与平面所成角的正弦值。

Answer 1

解析：解法一：（1）设与相交于点P，连接PD，则P为中点，

D为AC中点，PD//。

又PD平面D，

//平面D  

（2）正三棱柱，

 底面ABC。

又BDAC，由三垂线定理得：BD

就是二面角的平面角。

=，AD=AC=1

tan =

=, 即二面角的大小是

（3）BDAC，平面平面ABC，平面平面ABC=ACBD平面，

,

作.则AM平面，连接MP，

则就是直线与平面D所成的角。

=，AD=1，

在RtD中，=，

，。

直线与平面D所成的角的正弦值为 

 

 

解法二：

（1）同解法一           

（2）如图建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，，0），（0，，）

=（-1，，-），

=（-1，0，-）

设平面的法向量为=（x，y，z）

则

则有，得=（，0，1）

由题意知=（0，0，）是

平面ABD的一个法向量。

设与所成角为，

则，

二面角的大小是

（3）由已知，得=（-1，，），=（，0，1）

则

直线与平面D所成的角的正弦值为