Question

20．已知函数f（x）=x+b-$\sqrt{4x-{x}^{2}}$，若方程|f（x）|=1有且仅有3个不等实根，则实数b的取值范围是[-1，2$\sqrt{2}$-3）．

Answer 1

分析 若方程|f（x）|=1有且仅有3个不等实根，则平行线y=x+b-1，y=x+b+1与y=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$的图象共有3个交点，画出三个函数的图象，数形结合可得答案．

解答 解：∵|f（x）|=1，
∴f（x）=x+b-$\sqrt{4x-{x}^{2}}$=1或f（x）=x+b-$\sqrt{4x-{x}^{2}}$=-1，
即x+b-1=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$或x+b+1=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$，
∵方程|f（x）|=1有且仅有3个不等实根，
∴两平行线y=x+b-1，y=x+b+1与y=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$有3个交点，
做出y=x+b-1，y=x+b+1，y=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$的函数图象如图所示：

设y=x+m与半圆y=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$相切，则$\frac{2+m}{\sqrt{2}}=2$，
∴m=2$\sqrt{2}$-2，
∴0≤b+1＜2$\sqrt{2}$-2，
∴-1≤b＜2$\sqrt{2}$-3．
故答案为[-1，2$\sqrt{2}$-3）．

点评 本题考查的知识点是根的存在性与根的个数判断，数形结合思想，直线与圆的位置关系，属于中档题．